Petit cours d'épidémiologie mathématique
Étapes de l'analyse mathématique des modèles,
et la taille finale d'une épidémie

Julien Arino

Department of Mathematics & Data Science Nexus
University of Manitoba*

Centre canadien de modélisation des maladies (CCDM/CCMM)
NSERC-PHAC EID Modelling Consortium (CANMOD, MfPH, OMNI/RÉUNIS)

Plan de ce cours

• Étapes de l'analyse
• par la méthode de la matrice de prochaine génération
• Variation sur la méthode de la matrice de prochaine génération
• Taille finale d'une épidémie dans le cas épidémique

Étapes de l'analyse

Étape 1 - Modèle épidémique ou endémique ?

• Souvent source de confusion: l'analyse d'un modèle épidémique diffère de celle d'un modèle endémique !
• Important de déterminer ce que vous avez
• Premier test simple (pas forcément sans erreur): y-t-il de la démographie ?
  • La démographie peut être présente malgré une population totale constante, s'il y a un flux au travers du système (avec, e.g., naissance = mort)
• Autre test (plus complexe): quelle est la nature de l'ÉSM ?

Étape 1 et demie - Calcul de l'ÉSM

• Si vous ne savez pas encore si vous avez un modèle épidémique ou endémique, il faudra calculer l'ÉSM; il faudra le(s) calculer de toute façon
• En général: on suppose que toutes les variables infectées sont égales à 0 (I, L et I, etc.)
  • Si vous trouvez un PE unique ou une quantité dénombrable d'équilibres, c'est un modèle endémique
  • Si votre solution est de la forme "toute valeur de marche", le modèle est épidémique

Étape 2 - Cas d'un modèle épidémique

• Calcul de
• En général: ne pas considérer les propriétés de SAL de l'ÉSM, elles sont données (tout y va)
• Calculez une taille finale (si possible)

Étape 2 - Cas d'un modèle endémique

• Calculer et en déduire les propriétés de SAL de l'ÉSM
• (Optionnel) Déterminez la direction de la bifurcation en
• (Souvent très compliqué voire impossible) Déterminer les propriétés de SAG de l'ÉSM ou de l'ÉÉ

Ne considérez pas la SAL de l'ÉSM d'un modèle endémique!

Considérons le PVI

et notons sa solution au temps passant par la condition initiale

est un point d'équilibre si

est LAS si ouvert dans le domaine de t.q. pour tout , pour tout et, de plus,

S'il y a un continuum de PE, alors , où est une courbe dans le domaine de t.q. pour tout

On dit que n'est pas isolé

Mais alors tout voisinage ouvert de contient des éléments de et prendre , , implique que

est localement stable mais pas localement asymptotiquement stable !

Le nombre de reproduction élémentaire

Indicateur très utilisé en épidémiologie. Définition verbale

nombre moyen de nouveaux cas générés par un individu infectieux introduit dans une population complètement naÏve

Si , alors chaque individu infectieux infecte en moyenne plus d'une personne et une épidémie est probable

Calcul de

Mathématiquement, est

un paramètre de bifurcation qui agrège les paramètres du système, et tel que l'équilibre sans maladie (ÉSM) perd sa stabilité locale lorsque l'on franchit de gauche à droite

• Obtenu en considérant la linéarisation du système en l'ÉSM
• Devient rapidement ingérable (taille de la matrice) et on obtient une forme souvent non unique (pas grave en tant que seuil, mais peu indicatif en dehors du seuil)

Quelques valeurs de (estimées)

par la méthode de la
matrice de prochaine génération

TL;DR - Matrice de prochaine génération

Diekmann & Heesterbeek, caractérisé dans le cas ODE par PvdD & Watmough (2002)

On considère uniquement les compartiments avec des individus infectés et on écrit

• flux entrant du fait des nouvelles infections
• tous les autres flux (¡attention au signe!)

On calcule les dérivées (Fréchet) et par rapport aux variables infectées (les matrices jacobiennes) et on évalue en l'ÉSM

Alors

où est le rayon spectral

Cadre général

, , où les premiers compartiments sont ceux contenant des individus infectés

l'ensemble de tous les états sans maladie:

Distinguons nouvelles infections des autres facteurs de changement de la population

• taux d'apparition de nouvelles infections dans le compartiment
• taux de transfert d'individus vers le compartiment par tout autre moyen
• taux de transfert hors du compartiment

Fonctions continûment différentiables au moins 2 fois par rapport à chaque variable

où

Des hypothèses

• (A1) Si , alors pour

Puisque chaque fonction représente un transfer dirigé d'individus, elles sont toutes positives

• (A2) Si alors . En particulier, si , alors pour

Si un compartiment est vide, il ne peut y avoir de transfer d'individus hors du compartiment du fait de la mort, l'infection ou tout autre moyen

• (A3) si

L'incidence est nulle pour des compartiments non infectés

• (A4) Si alors et pour

On suppose que si la maladie est absente de la population, alors la population restera sans maladie, i.e., il n'a pas de d'immigration (densité indépendante) d'infectieux

Une dernière petite hypothèse pour la route?

Soit un ÉSM du système, i.e., un équilibre (localement) asymptotiquement stable du modèle sans maladie, i.e., le système restreint à . Il n'est pas nécessaire de supposer que le modèle a un ÉSM unique

Soit la matrice Jacobienne . Certaines des dérivées sont d'un seul côté puisque est sur la frontière du domaine

• (A5) Si est forcé à zéro, alors toutes les valeurs propres de sont à parties réelles négatives

Note: si la méthode devait ne pas fonctionner, c'est en général parce que (A5) n'est pas vérifiée

Un résultat de van den Driessche & Watmough

Important de noter la nature locale de la stabilité qui est déduite de ce résultat. On verra plus tard que même lorsque , il peut y avoir plusieurs équilibres

Direction de la bifurcation en

un paramètre de bifurcation t.q. pour et pour et soit un ÉSM . On considère le système

Écrivons

sous la forme de matrices par blocs

Soit , , le -élément de et soient et les vecteurs propres à gauche et à droite de t.q.

Soient

Variation sur la méthode de la
matrice de prochaine génération

Une autre méthode pour calculer

• Arino, Brauer, PvdD, Watmough & Wu. A final size relation for epidemic models (2007)
• Méthode très similaire à la précédente, mais fournit un résultat plus net parfois
• Utile dans le cas d'un modèle épidémique pour calculer la taille finale de l'épidémie
• Par contre, méthode pas universelle! Marche dans une classe relativement étendue de modèles, mais pas partout. Lorsque la méthode ne marche pas, on utilisera la méthode de la matrice de prochaine génération
• Je change les notations du papier pour rendre les choses plus claires

Forme standard du système

Supposons que l'on peut écrire le système sous la forme

où , et sont les compartiments de susceptibles, infectés et retirés, respectivement

Les CI sont avec au moins une des composantes de strictement positive

• fonction continue encodant le recrutement et la mort des individus non infectés
• matrice diagonale avec entrées les susceptibilités relatives des compartiments susceptibles, avec la convention que
• fonction à valeurs scalaires representant l'infectivité, avec, e.g., pour la loi d'action de masse
• vecteur ligne de la transmission horizontale relative

• a pour élément la fraction des individus dans le compartiment susceptible qui entrent dans le compartiment infectés après avoir été infectés
• matrice diagonale avec entrées les susceptibilités relatives des compartiments susceptibles, avec la convention que
• fonction à valeurs scalaires representant l'infectivité, avec, e.g., pour la loi d'action de masse
• vecteur ligne de la transmission horizontale relative
• décrit les transitions entre états infectés et les transitions hors de ces états du fait de la guérison ou la mort

• fonction continue encodant les flux vers et hors des compartiments retirés du fait de l'immunisation ou de processus similaires
• a pour -élément le taux de mouvement des individus dans le compartiment infecté vers le compartiment retiré

Supposons que soit un ÉSM LAS du système sans maladie, i.e., un point d'équilibre de

En l'absence de démographie (modèle épidémique), alors pas de conclusion sur la stabilité, bien sur

Taille finale d'une épidémie
dans le cas épidémique

Forme standard du système en absence de démographie

Sans démographie, la méthode suppose que l'on puisse écrire le système comme

avec les termes définis avant

Pour une fonction continue , soient

Définissons le vecteur ligne

On a alors

Supposons que l'incidence soit en action de masse, i.e., et que

Alors, pour , on exprime en fonction de en utilisant

puis on substitue dans

qui est une relation en taille finale pour le système général quand

Si l'incidence est en action de masse et que (un seul compartiment susceptible), se réduit à la forme KMK

Dans le cas d'autres fonctions d'incidence, les relations de taille finale sont des inégalités de la forme, pour ,

où est la population totale initiale

Pour aller plus loin au sujet de la taille finale

• Dans certains des cas où la méthode ici ne s'applique pas parce que le modèle ne peut pas s'écrire sous la forme standard -, on consultera, e.g.,
  • Andreasen. The final size of an epidemic and its relation to the basic reproduction number. Bulletin of Mathematical Biology 73(10):2305-2321 (2011)
  • Lunelli & Pugliese. Final attack ratio in SIR epidemic models for multigroup populations. Ricerche di Matematica 67:49-68 (2017)
  • Magal, Seydi & Webb. Final size of a multi-group SIR epidemic model: Irreducible and non-irreducible modes of transmission. Mathematical Biosciences 301:59-67 (2018)