Petit cours d'épidémiologie mathématique
Un peu de stabilité globale

Julien Arino

Department of Mathematics & Data Science Nexus
University of Manitoba*

Centre canadien de modélisation des maladies (CCDM/CCMM)
NSERC-PHAC EID Modelling Consortium (CANMOD, MfPH, OMNI/RÉUNIS)

* The University of Manitoba campuses are located on original lands of Anishinaabeg, Cree, Oji-Cree, Dakota and Dene peoples, and on the homeland of the Métis Nation.

Plan de ce cours

  • Propriétés globales du modèle SLIRS
  • Considérations sur la stabilité globale en métapopulations
  • Du numérique

Propriétés globales du modèle SLIRS

SLIRS - Mukherjee, Chattopadhyay & Tapaswi

SLIRS (SEIRS) avec naissance constante , mortalité per capita et fonction d'incidence

Établissent bornitude uniforme, puis définissent

Mukherjee, Chattopadhyay & Tapaswi. Global stability results of epidemiological models with nonlinear incidence rates. Mathematical and Computer Modelling 18 (1993)

Définissant

avec fonctions et t.q.

ils obtiennent le résultat suivant

La fonction est t.q. si

Clairement, dur à verifier en pratique, donc le système est étudié d'autres façons

Li & Muldowney (1995)

Li, Muldowney & PvdD - CAMQ (1999)

SLIRS (SEIRS) avec incidence

où t.q. , pour et

Normalisent la population totale à . Hypothèse additionnelle sur

  • (H) ; quand , pour suffisamment petit

On a

Puisque ,

Si satisfait (H), alors le système avec incidence est uniformément persistant

Le système est uniformément persistant s'il existe t.q. toute solution du SEIRS avec conditions initiales satisfait

Supposons que l'incidence satisfait (H) et que

Supposons additionnellement que et que l'une des conditions

soit satisfaite, où

et est défini comme précédemment. Alors il n'y a pas de courbe fermée rectifiable qui soit invariante sous le flot de SEIRS. De plus, toute semi-trajectoire de SEIRS dans converge vers un équilibre

La preuve utilise les matrices composées (voir plus loin)

Fonction de Liapounoff pour SLIR et SLIS

Andrei Korobeinikov. Considère un SLIR avec population constante normalisée à 1 et avec transmission verticale

  • proportion de nouveaux nés de qui sont à la naissance
  • proportion de nouveaux nés de qui sont à la naissance
  • n'influe pas sur la dynamique du système, on ne le montre pas

Équilibres

  • ÉSM:
  • EE: avec

où

est le nombre de reproduction élémentaire avec transmission verticale. On a Par ailleurs, lorsque

est biologiquement valide seulement lorsque

Utilisons la fonction

  • Si , alors - a l'équilibre GAS
  • Si , alors - a l'ÉSM GAS et n'est pas valide biologiquement

Matrices composées

La méthode des matrices composées

  • Extension du critère de Dulac à des systèmes en dimension plus élevée
  • Utile pour exclure l’existence d'orbites périodiques
  • Était très populaire pendant quelques années, mais il faut connaître la limitation principale:
    • Devient difficile d'utilisation lorsque la dimensionnalité du système est

Voir Fiedler Special Matrices and Their Applications in Numerical Mathematics (2013) pour les détails

Soit , , une -matrice et un entier,

Soient et , et les ensemble de -tuples d'éléments de et ordonnés lexicographiquement, respectivement

La ème matrice composée de est la -matrice, avec rangs indicés par les éléments de et colonnes indicées par les éléments de , t.q. l'élément , , est le déterminant

est la sous-matrice de consistant des rangs dans et des colonnes dans

Une autre interprétation de est en tant que ème produit extérieur de la matrice

Supposons que soit une -matrice. La matrice est une -matrice dont chaque élément est un polynôme en de degré au plus

En regroupant les monômes de même degré en

où les matrices ne dépendent pas de

La matrice est la ème matrice composée additive de et est notée . Elle vérifie

Cette dernière égalité peut s'écrire

où est la dérivée à droite

Supposons que . Alors, pour

où est l'élément de , est l'élément de et est le nombre d'éléments de entre et

Lorsque , on a

Supposons que . Pour tout , soit le ème élément de l'ordre lexicographique de paires d'entiers t.q.

Alors l'élément de est

ééîîééî

où est l'élément dans , est l'élément dans et est le nombre d'éléments de entre et

Exemple

Soient

Alors

Soient deux -matrices. Alors

  • Le nombre d'éléments non nuls hors de la diagonale de est égal à fois le nombre d'éléments non nuls hors de la diagonale de
  • ,
  • (d'où le suffixe additif)
  • Soit une -matrice non singulière. Alors

Soit une -matrice. Notons la deuxième matrice composée additive de

Soit une matrice réelle. Pour que ait toutes ses valeurs propres à parties réelles strictement négatives, il faut et il suffit que

  1. la deuxième matrice composée additive a toutes ses valeurs propres à parties réelles strictement négatives

Rôle dans la stabilité

Considérons l'équation différentielle

Une condition suffisante pour qu'une orbite périodique de soit asymptotiquement orbitalement stable avec phase asymptotique est que le système linéaire

soit asymptotiquement stable

Li & Muldowney (1995)

Considérations sur la stabilité globale
en métapopulations

Remarques sur la SAG dans les métapopulations

  • Contrairement à l'analyse locale, il n'y a pas d'algorithme permettant de considérer ce problème de façon systématique
  • On procède au cas par cas. Deux exemples dans le reste de ce cours
  • Des éléments de théorie globale systématique: travail de Zhisheng Shuai et collaborateurs, principalement
  • La question, comme souvent: la SAG est-elle vraiment importante ? Cela dépend du contexte du travail..

Modèle -SLIRS

Considérons un cas particulier du -SLIRS avec naissance constante

et incidence standard

Le résultat de SAL de l'ÉSM lorsque peut être rendu global

Calculons comme expliqué précédemment. Si alors l'ÉSM du système -SLIRS - est globalement asymptotiquement stable

Preuve

Puisque pour tout , il suit que et l'équation donne l'inégalité

Pour utiliser un théorème de comparaison, définissons un système linéaire consistant de et

  • Le système linéaire - a la matrice comme matrice de coefficients, donc (par des arguments dans la preuve du résultat sur de van den Driessche & Watmough) vérifie et pour
  • En utilisant un théorème de comparaison, il suit que ces limites sont aussi vérifées pour le sous-système non linéaire -
  • Il suit par le même raisonnement que plus avant que et

Donc, lorsque l'ÉSM est GAS, la maladie s'éteint

-SLIRS (espèces multiples)

Mouvement égal pour tous les états et irréductible

Pour le modèle -SLIRS -, définissons en utilisant la méthode décrite plus haut. Si , alors l'ÉSM est GAS

Preuve

Pour établir la SAG de l'ÉSM lorsque , considérons le système non autonome consistant de -, dans lequel on écrit sous la forme

i.e., où l'on a remplacé par , et est solution de l'équation pour la population totale

On a (par raisonnement similaire à celui de la SAL de l'ÉSM)

Écrivons le système non autonome -- comme

où vecteur -dimensionnel des , et

L'ÉSM pour - correspond au PÉ de

dépend de , mais peut être considéré independemment des variables épidémiologiques, et l'on a vu que quand

Substituons la limite à dans

Il suit que le système non autonome est asymptotiquement autonome, avec système limite

Pour montrer que 0 est GAS pour le système limite , considérons le système linéaire

où est le vecteur -dimensionnel consistant des , et . Dans , on remplace par . Les équations et ne sont pas affectées par cette transformation, tandis que devient

Si l'on compare et , on note que pour tout

Dans , les équations pour et n'impliquent pas . Soit la partie du vecteur correspondant aux variables et , et soit la sous-matrice de correspondante

La méthode utilisée pour prouver la SAL peut être appliquée pour prouver la stabilité de pour le sous-système , avec

Si , alors est un équilibre stable du sous-système . Quand , prend la forme

avec

On sait, par les résultats vus avant, que est une M-matrice singulière et que est une M-matrice non-singulière pour tout

Donc l'équilibre de ce système linéaire est stable

Par conséquent, l'équilibre de est stable quand

En utilisant un théorème de comparaison standard, il suit que 0 est un équilibre GAS de

Lorsque , le système linéaire et a un équilibre unique (l'ÉSM) puisque sa matrice de coefficients est non-singulière

La SAG suit par utilisation de résultats sur les systèmes asymptotiquement autonomes