Petit cours d'épidémiologie mathématique
Types de modèles stochastiques utilisés en épidémiologie

Julien Arino

Department of Mathematics & Data Science Nexus
University of Manitoba*

Centre canadien de modélisation des maladies (CCDM/CCMM)
NSERC-PHAC EID Modelling Consortium (CANMOD, MfPH, OMNI/RÉUNIS)

* The University of Manitoba campuses are located on original lands of Anishinaabeg, Cree, Oji-Cree, Dakota and Dene peoples, and on the homeland of the Métis Nation.

Plan de ce cours

  • Motivation de la stochasticité
  • Quels types de systèmes stochastiques ?

Remarque - Remerciement

Certains des transparents ici sont inspirés de transparents que Linda Allen (Texas Tech) m'a donné il y a quelques années. Je recommende les livres et articles de Linda pour plus de détails

Motivation de la stochasticité

Modèle SIS sans démographie

Population totale constante

Nombre de reproduction élémentaire:

Dans le monde déterministe, fait la loi

  • Si , la maladie s'éteint (ESM)
  • Si , la maladie converge vers un équilibre endémique

Transparents suivants: K, , (et )

Dans le monde stochastique, fait la loi ? ()

center

Lorsque , les extinctions arrivent assez fréquemment

Quels types de systèmes stochastiques ?

Modèles de chaines binomiales

  • Modèle de Reed-Frost (circa 1920)
    • Infection propagée des individus I vers les autres après contact approprié
    • Tout individu S, après contact avec un individu I dans une période donnée, développe une infection et est infectieux pour les autres seulement dans la période de temps suivante; dans la période suivante, devient R
    • Chaque individu a une probabilité donnée d'entrer en contact avec n'importe quel autre individu dans le groupe par intervalle de temps, et cette probabilité est la même pour tout membre du groupe
    • Population close
  • Nombreuses variations et améliorations depuis

Chaînes de Markov en temps discret (CMTD)

  • Présenté en détail dans le Cours 15 et, numériquement, le Cours 16
  • Équivalent des systèmes en temps discret mais incluent de la stochasticité
  • Saut vers le prochain état dépend seulement de l'état actuel (le système n'a pas de mémoire)
  • Facile à étudier en utilisant l'algèbre linéaire

Chaînes de Markov en temps continu (CMTC)

  • Équivalent stochastique presque exact des EDO
  • Conversion des ODE vers les CMTC et vice-versa très simple pour les modèles compartimentaux
  • Plus difficiles à étudier que les CMTD mais quand même assez faciles

Processus de branchement

  • Cas particulier des CMTC

Équations différentielles stochastiques

  • Je vais confesser un certain biais contre les EDS: EDO avec du bruit ajouté, pas grand chose de plus