Petit cours d'épidémiologie mathématique
Modèles en réseaux

Julien Arino

Department of Mathematics & Data Science Nexus
University of Manitoba*

Centre canadien de modélisation des maladies (CCDM/CCMM)
NSERC-PHAC EID Modelling Consortium (CANMOD, MfPH, OMNI/RÉUNIS)

* The University of Manitoba campuses are located on original lands of Anishinaabeg, Cree, Oji-Cree, Dakota and Dene peoples, and on the homeland of the Métis Nation.

Plan de ce cours

  • Pourquoi des modèles en réseaux
  • Les réseaux sociaux
  • Cadre général des modèles en réseaux
  • La librairie EpiModel

Pourquoi des modèles en réseaux

Comprendre les processus de contact

  • Les modèles classiques permettent une certaine flexibilité (voir par exemple la section dans le Cours 04 sur les fonctions d'incidence ou le Cours 11 sur les modèles de groupes), mais cela reste limité et une approximation
  • De la même manière que les modèles agents (Cours 18), les modèles en réseaux sont considérés pour rendre plus réaliste la description des processus de contact dans la transmission des agents pathogènes

La vie humaine s'organise en réseaux

  • Famille
  • Cercles d'amis
  • Réseau professionel
  • ...
  • Théorie des réseaux sociaux existe et est utilisée depuis des années, par exemple dans le cadre professionnel (e.g., comment fluidifier les interactions dans une entreprise)

Les réseaux sociaux

  • Avant de considérer des épidémies dans des réseaux, quelques notions de réseaux sociaux, parce que c'est utile de façon générale pour comprendre les réseaux
  • Les méthodes en réseaux sociaux introduisent des mesures qui permettent d'évaluer certaines propriétés des graphes et qui sont utiles à connaître
  • Un réseau est un graphe (mathématique), orienté ou non, dans lequel les arcs représentent les connections (quelles qu'elles soient) entre les individus, qui sont les nœuds du graphe

Contexte

  • un graphe non orienté
  • un digraphe (graphe orienté)
  • l'ensemble des nœuds (vertices en anglais)
  • l'ensemble des arcs dans le cas non orienté (edges en anglais)
  • l'ensemble des arcs dans le graphe orienté (arcs en anglais)

Exemple du réseau de transport aérien

  • Je vais illustrer avec des données du réseau de transport aérien mondial
  • Données assez bonnes (très bonnes parfois), et un avantage flagrant:
    • Quand un avion part de quelque part et arrive ailleurs, c'est quelque chose d'assez .. déterministe

Densité du graphe

Un graph (resp. digraphe) est complet si toute paire de nœuds est connecté (resp. est connecté par un arc dans chaque direction)

S'il y a nœeuds dans le graphe, alors il y a (resp. ) arcs dans le graphe (resp. digraphe) complet

(On ne compte pas les connections d'un nœud sur lui même)

Densité de (graphe non orienté)

Densité de (graphe orienté)

Densité des digraphes considérés

Digraphe # nœuds # arcs densité
Manitoba 24 64 0.1159
Canada 222 804 0.0164
Amérique du Nord 934 7,814 0.009
Global 3403 32,576 0.0028

Degré

Degré du nœud dans : nombre d'arcs incidents à

Degré entrant du nœud dans : nombre d'arcs avec tête

Degré sortant du nœud dans : nombre d'arcs avec queue

Degré du nœud dans : nombre d'arcs incidents à dans le graphe non orienté sous-jacent de (où tout arc est considérée comme un arc "bidirectionnel")

Degré entrant global du réseau de transport aérien

Ville Pays Degré entrant Rang
Londres GB 365 1
Paris France 294 2
Frankfurt Allemagne 287 3
Atlanta USA 249 4
New York USA 241 5
Moscou Russie 225 6
Amsterdam Pays-Bas 204 7
Chicago USA 203 8
Munich Allemagne 200 9
Milan Italie 181 10

Le degré change pendant l'année

Les graphes sont dynamiques !

Plus court chemin

Soit un digraphe. Le (ou les) plus court(s) chemin(s) de à dans :

où est l'ensemble des chemins de à et est un valuation des arcs dans le chemin . On définit s'il n'existe pas de chemin de à

peut être

  • le nombre d'arcs dans de à (distance géodésique)
  • Distance du grand cercle des arcs de
  • durée des vols des arcs de

Excentricité

Excentricité (ou nombre de Köonig) du nœud dans

Excentricité entrante du nœud dans

Excentricité sortante du nœud dans

Graphe
Manitoba 2 3 (Lynn Lake)
Canada 7 7
Amérique du Nord 7 8 (Stony River)
Global 7 8 (Stony River)
( * ) Peawanuck (ON), Port Hope Simpson (NL)
( ** ) ( * ) + Lopez Island, Kwethluk, Chuathbaluk
( *** ) ( ** ) + Hooker Creek, Birdsville, Beni, Balalae, Thargomindah

Rayon

Rayon de

Rayon entrant de

Rayon sortant de

rayon = directionalité

Rayon du réseau de transport aérien

Graphe
Manitoba 2 3
Canada 6 6
Amérique du Nord 6 7
Global 7 7

Centre d'un graphe

Centre de :

Centre du réseau de transport aérien

Graphe
Manitoba 2 1 (YWG) 3 7
Canada 6 1 (YTO) 6 1 (YTO)
Amérique du Nord 6 1 (YTO) 7 18
Global 7 131 7 20

YYC,YEA,Halifax,Kelowna,Moncton,YMQ,YOW,Quebec,St John's,YTO,YVR, Victoria,YWG

Toronto,Vancouver

Diamètre

Diamètre de

diamètre = max(max(.)) pas de directionalité

Graphe Diamètre
Manitoba 5
Canada 12
Amérique du Nord 13
Global 13

Péripherie d'un graphe

Péripherie de

Graphe Péripherie entrante Péripherie sortante
Manitoba Lynn Lake Cross Lake, Red Sucker Lake, Brandon
Canada Peawanuck Peawanuck, Port Hope Simpson
Amérique du Nord Stony River Peawanuck, Port Hope Simpson
Global Stony River, Hooker Creek, Peawanuck Hooker Creek, Beni, Peawanuck, Port Hope Simpson

Bien d'autres mesures

  • betweenness
  • closeness
  • -cores

Cadre général des modèles en réseaux

  • Typiquement, on considère un graphe (ou digraphe selon les cas) dans lequel:
    • chaque nœud est un individu
    • l'existence d'un arc de vers indique que est en contact avec et peut lui transmettre l'infection
    • dans le cas non orienté, l'existence d'un arc de vers implique celle d'un arc (le même) de vers et établit que les deux individus sont connectés
  • La connexion n'est pas permanente, mais décrit plutôt la possibilité d'une connexion: et entrent en contact de façon régulière

Matrice d'adjacence

On utilisera souvent la matrice d'adjacence , dans laquelle si le nœud a un lien vers le nœud et sinon

On écrit parfois pour indiquer que est la matrice d'adjacence du digraphe , et dans l'autre sens, pour indiquer que le graphe est construit en utilisant la matrice d'adjacence

Si le graphe est non orienté, alors est symmétrique

Nature du réseau

  • Parfois on dispose de données précises sur les liens entre individus (sondages, etc.)
  • Souvent on idéalise des réseaux, on choisit des réseaux avec des propriétés données

La distribution des degrés du (di)graphe

La transmissibilité d'une maladie dans un graphe est la probabilité moyenne qu'un individu infectieux transmette la maladie à un individu susceptible avec qui il/elle est en contact

Dans un réseau non corrélé,

où et sont le degré moyen et la moyenne du carré du degré

Il est nécessaire que pour qu'un outbreak devienne une épidémie majeure

La librairie EpiModel

Jenness SM, Goodreau SM and Morris M. EpiModel: An R Package for Mathematical Modeling of Infectious Disease over Networks. Journal of Statistical Software. 2018; 84(8): 1-47

EpiModel

  • Librairie R qui fournit des outils pour simuler et analyser des modèles épidémiologiques en réseaux
  • Fournissent deux types d'approches:
    • Simulation des modèles compartimentaux EDO (pas très intéressant)
    • Simulation des modèles réseaux
  • Leur site web contient quelques tutoriaux utiles
  • Fait partie de la méta-librairie statnet