Petit cours d'épidémiologie mathématique
Le modèle SLIRS/SEIRS

Julien Arino

Department of Mathematics & Data Science Nexus
University of Manitoba*

Centre canadien de modélisation des maladies (CCDM/CCMM)
NSERC-PHAC EID Modelling Consortium (CANMOD, MfPH, OMNI/RÉUNIS)

Plan de ce cours

• Durée d'incubation
• Formulation du modèle SLIRS en population constante
• Effet de la vaccination : Immunité de groupe
• Propriétés globales du modèle SLIRS

Durée d'incubation

Pourquoi prendre en compte la durée de la période d'incubation

(De Wikipedia)

Incubation versus latence

La période d'incubation est le période entre le moment où un individu est infecté par la maladie et le moment où ses symptômes deviennent visible

La période de latence est la période entre le moment où un individu est infecté par la maladie et le moment où il devient infectieux

Ces périodes peuvent être identiques ou bien différer un peu (souvent, l'infectiosité commence avant les symptômes)

Formulation du modèle SLIRS en population constante

• Formulation du modèle général
• Le modèle SLIRS avec naissance per capita
• Le modèle SLIRS avec naissance constante

Formulation du modèle général

Hypothèses

• Il y de la démographie: naissance au taux et mort au taux per capita
• On regardera deux cas pour commencer: naissance constante et per capita
• Maladie pas transmise aux nouveaux nés (pas de transmission verticale): toutes les naissances sont dans le compartiment
• La maladie ne cause pas de mortalité additionnelle
• Nouvelles infections ont lieu au taux
• Il y a une période d'incubation
• Après guérison, les individus sont immunisés à la maladie
• L'immunité est perdue après un certain temps

Les deux modèles SLIRS

Naissance per capita

Naissance constante

Paramètres

• durée moyenne de la période d'incubation

• durée moyenne de la période infectieuse

• durée moyenne de la période d'immunité

• espérance de vie moyenne

Selon le modèle

• taux per capita de naissance
• taux de naissance

Le modèle SLIRS avec naissance per capita

Sommant les équations -, on obtient la dynamique de la population totale

C'est un processus de naissance et mort

Le processus de naissance et mort

Clairement

• Si , , la population totale explose
• Si , reste constant pour tout
• Si , , la population s'éteint

On peut considérer le modèle en proportions comme on a fait pour le SIS, dans les deux cas non constants ()

Modèle en proportions (cas )

Si , alors, notant ,

où on a utilisé pour obtenir la dernière égalité

Ainsi

que l'on utilise pour les équations du système

Équation pour

donne, en utilisant

On reviendra plus tard sur le terme

De la même manière, on obtient

Fonctions d'incidence classiques en proportion

Si , alors

en se souvenant que et donc . On devra donc conserver l'équation en (mais on pourra oublier une autre équation, puisque )

Si , alors

On garde alors les équations pour et omet celle de

On a donc les systèmes suivants. Incidence en action de masse

Incidence proportionnelle

On n'étudiera pas ces systèmes ici!

Le modèle SLIRS avec naissance constante

En sommant -, on obtient que la dynamique de est donnée par

L'équation

est facile à intégrer ou à étudier qualitativement

Qualitativement: est scalaire autonome, ses solutions sont donc monotones. Les solutions sont strictement positives pour des conditions initiales positives et toutes tendent vers

Notons que cette convergence est indépendante du comportement de -. On peut donc remplacer par sa limite

Cela permet également d'envisager une approche numérique s'abstrayant des variations dues à la démographie:

• on choisit une condition initiale t.q.

• on est alors assuré que les variations des variables d'état sont uniquement dues aux facteurs épidémiologiques, puisque reste constant

Dans la suite, on étudie donc le système

Étude mathématique du modèle SLIRS

• Début de l'analyse
• Calcul des équilibres
• Calcul classique de
• par la matrice de prochaine génération
• Hiérarchie de modèles

On étudie le système

On rappelle que la population totale est asymptotiquement constante avec limite

On choisit en général une condition initiale t.q. pour éviter le cas trivial, et pour simplifier, on suppose que

Début de l'analyse

Le même genre de raisonnement que l'on a conduit lors de l'étude du modèle SIS dans le Cours 04 permet de conclure que le système est bien posé, en ce que

• il y a existence et unicité des solutions de -
• le cône positif est positivement invariant sous le flot de -
• les solutions de - sont bornées

Calcul des équilibres

De , , et de , . On en déduit en particulier qu'en un équilibre sans maladie (ÉSM),

Considérons d'abord ÉSM, où, comme on vient de voir . L'équation n'est pas utile, elle dit seulement que la maladie ne se transmet pas en ÉSM. On considère donc , qui s'écrit

On obtient la valeur de en ÉSM en résolvant cette équation

Mais, en général, (il n'y a pas transmission sans infectieux) et donc à l'ÉSM

On aurait aussi pu raisonner que puisque et que , alors nécessairement,

On a donc l'ÉSM

Trouver l'équilibre ou les équilibres endémiques (EE) est impossible sans plus d'information sur la forme de la fonction d'incidence , mais on peut quand même faire quelques inférences

Les relations déduites de et permettent d'écrire - sous la forme d'un système nonlinéaire à deux inconnues, et

De

Substituant dans ,

On sait du reste que la population totale satisfait

On a donc deux équations de droite, et , dont l'intersection détermine l'équilibre, et donc on confirmera la valeur en utilisant la relation

NB - On a déjà remarqué que dans le cas d'une population totale constante, bien des fonctions d'incidence sont similaires; en absence de , on cherche l'intersection de et , ce qui est plus compliqué

Calcul classique de

• est le lieu dans l'espace des paramètres où l'ÉSM passe de LAS lorsque à instable lorsque
• On le caractérise donc en considérant la SAL de l'ÉSM
• Donc on calcule la Jacobienne, on l'évalue en l'ÉSM et on calcule les valeurs propres
• Typiquement, on va avoir toutes sauf une des v.p. à parties réelles strictement négatives et une dont la partie réelle n'est pas de signe fixe
• C'est sur cette dernière qu'on agit

La matrice jacobienne de -

On a, en un point arbitraire

où

On observe que toutes les colonnes somment à , ce qui entraîne que est valeur propre (puisque , avec )

La matrice jacobienne de - en l'ÉSM

Mais , donc

Matrice bloc triangulaire supérieure, donc valeurs propres sont (on savait déjà) et les valeurs propres de

Valeurs propres de

Bloc triangulaire inférieure et valeurs propres de

Polynôme caractéristique:

Polynôme caractéristique:

De la règle des signes de Descartes, on déduit que la nature des valeurs propres dépend du signe de

• Si , il y a une valeur propre réelle strictement positive et est instable
• Si , les valeurs propres sont et 0 (par inspection du polynôme caractéristique)
• Si , il n'y a pas de valeurs propres réelles strictement positives

Attention: à ce stade, rien dans le cas ne dit qu'on ne peut pas avoir deux valeurs propres complexes conjuguées à parties réelles positives

Pour lever l'incertitude, on calcule le discriminant

Il suit que le cas correspond bien au cas où les deux valeurs propres sont réelles et négatives et est LAS

Expression de

On veut une expression telle que si , l'ÉSM est LAS, et si , l'ÉSM est instable

On a vu que, étant donné

• si , l'ÉSM est LAS
• si , l'ÉSM est instable

On utilise donc

par la matrice de
prochaine génération

Les variations des variables infectées sont données par

Donc on écrit le système en les variables infectées sous la forme

On calcule les matrices Jacobiennes associées aux vecteurs et

où

Mais (puisque ), donc

On a

Par conséquent

et donc

Important d'insister sur la nature locale de la stabilité qui est déduite de ce résultat. On verra un exemple où lorsque , il peut y avoir plusieurs équilibres strictement positifs, et un autre où plusieurs ÉSM ont lieu en même temps

Application

• Incidence en action de masse

• Incidence standard

Remarques

• N'utilisez pas les deux méthodes!

• La méthode de la matrice de prochaine génération s'applique facilement à des modèles plus complexes, comme on le verra dans le reste du cours

• Si vous considérez la SAL de l'ÉE, alors il faudra utiliser la jacobienne

Les grandeurs impliquées dans

On revient sur les temps de résidence dans le Cours 09, mais en prélude à ce cours, réécrivons

• Incidence en action de masse

• Incidence standard

et sont les temps moyens de séjour dans les compartiments et , respectivement

Hiérarchie de modèles

On dérive beaucoup de modèles du SLIRS

Expressions de