Petit cours d'épidémiologie mathématique
Modèles de groupes

Julien Arino

Department of Mathematics & Data Science Nexus
University of Manitoba*

Centre canadien de modélisation des maladies (CCDM/CCMM)
NSERC-PHAC EID Modelling Consortium (CANMOD, MfPH, OMNI/RÉUNIS)

Plan de ce cours

• Formulation de modèles de groupes
  • Modèles structurés en âge
  • Modèles incorporant une structure sociale
  • Modèles avec hétérogénéité du pathogène
• Analyse des modèles de groupes
• Simulation des modèles de groupes
• Un exemple en direct

Formulation de modèles de groupes

Limitations des modèles EDO pour une population

• Comme discuté dans le Cours 12, les modèles EDO élémentaires supposent que tous les individus dans un compartiment sont grosso modo les mêmes
• Les individus peuvent passer des temps différents dans un compartiment (voir le Cours 09), mais leurs caractéristiques sont plus ou moins les mêmes
• On a vu de façon flagrante avec COVID-19 que, par exemple, des groupes d'âge différents sont affectés différemment

Les groupes peuvent être utilisés pour bien des choses

Les groupes permettent d'introduire de la structure sans utiliser des EDP

• Structure d'âge
• Structure sociale
• Hétérogénéité du pathogène
• Hétérogénéité des hôtes (e.g., super spreaders)

Dans ce cours, on ne considère pas l'hétérogénéité spatiale, qui fait l'objet du Cours 14

On décrira peu l'analyse, qui est assez similaire à celle des métapopulations du Cours 14, mais on montrera quelques exemples

Modèles structurés en âge

D'abord une remarque

En terme de modélisation, les EDO ne sont pas la meilleure façon d'incorporer l'âge, si l'âge doit évoluer pendant l'utilisation du modèle

Ce qui suit est une utilisation "propre" de l'âge en utilisant des EDP

A multi-group SIS model with age structure, par Feng, Huang & C

Pour sous-groupes différents

où

avec des conditions au bord et initiales, pour

( fraction des nouveaux nés infectés)

Nombre de reproduction élémentaire dans le groupe

• Les auteurs obtiennent des résultats de stabilité globale
• Ont besoin de simplifier pour avancer l'analyse
• Pas de numérique, le numérique peut être compliqué pour ce type de modèle

Prennons la voie EDO

• Les EDO sont moins satisfaisantes que les EDP mais peuvent être utilisées en l'état et sont beaucoup plus faciles numériquement
• Un bémol - Comme discuté plus tôt, les modèles EDO avec structuration en âge sont intrinsiquement faux, puisque les temps de séjour dans les classes d'âge sont distribués exponentiellement plutôt que selon une Dirac ! (Voir le Cours 09 sur les temps de résidence)

Modèles incorporant une structure sociale

TB dans la population canadienne née à l'étranger

Preventing tuberculosis in the foreign-born population of Canada: a mathematical modelling study. Varughese, Langlois-Klassen, Long, & Li. International Journal of Tuberculosis and Lung Disease 18 (2014)

• Les nouveaux immigrants au Canada viennent surtout de pays où la TB est très active
• Il est observé que les gens développent la TB active pendant les premières années de leur présence au CAN
• Veulent étudier ça, de même que l'effet de plusieurs politiques de test

Modèles avec hétérogénéité du pathogène

Importation d'un nouveau variant de SARS-CoV-2

Risk of COVID-19 variant importation – How useful are travel control measures? Arino, Boëlle, Milliken & Portet. Infectious Disease Modelling 6 (2021)

• Considère ce qui se passe quand un nouveau variant N arrive dans un lieu où un variant O est déjà en circulation

Couplage par la force d'infection

• Pour le moment, on a discuté des fonctions d'incidence
• Ici, on utilise une force d'infection , pour
• Force d'infection met "hors" de la function: c'est la pression d'infection, qui s'applique aux individus susceptibles et provoque leur infection
• Bien entendu, les deux formes sont équivalentes, mais dans certains contextes, cela a plus de sens (e.g., modèles en EDP)
• Ici, pour

Ajoutons des groupes - La "couche d'importation"

• Comment évaluer la contribution des "importations" à la propagation dans un lieu ?
• Si un individu arrive dans un nouveau lieu en étant porteur de la maladie, on le place dans un groupe spécial, la couche d'importation
• Dans la couche d'importation, les individus sont en contact avec le reste de la population, mais ils restent dans ce groupe jusqu'à leur guérison ou leur mort
• C'est un artifice comptable utile !

Force d'infection avec couche d'importation

Pour

where, for and

Modèles avec composante immunologique

Global dynamics of a general class of multistage models for infectious diseases. Guo, Li & Shuai. SIAM Journal on Applied Mathematics 72 (2012)

• Les virus comme le VIH restent dans le corps pendant longtemps, potentiellement la vie entière
• Pendant le cours de ce séjour, la charge virale change et avec elle, les symptômes et l'infectiosité

Analyse des modèles de groupes

Modèle de Guo, Li & Shuai

• Pour des considérations générales sur une méthodologie, voir Li & Shuai, Global-stability problem for coupled systems of differential equations on networks, JDE 248 (2010)
• Techniques utilisent une combinaison de théorie "classique" des EDO, de l'algèbre linéaire et de la théorie des graphes
• Ils montrent SAG quand et SAG sous conditions lorsque
• Utilisent fonction de Liapounoff pour l'ESM quand
• Pour l'ÉÉ, utilisent une fonction de Liapounoff de type Goh

• Utilisent le "Kirchhoff’s matrix tree theorem" pour montrer que est définie négative

Simulation des modèles de groupes

• Activité similaire à la simulation des modèles en métapopulations. Décrit dans le Cours 14
• La simulation du modèle avec importation de variant sera discuté dans le Cours 19 sur la simulation des modèles stochastiques

Un exemple en direct..

La question scientifique

• COVID-19 semble avoir pour une large partie épargné l'Afrique
• À quoi peut-on attribuer cela ?
  • Climat ?
  • Meilleure immunité ?
  • Distribution des âges très différente de l'ouest, et une maladie qui attaque principalement les personnes plus âgées ?

On affine la question

• On pourrait considérer tous ces facteurs en même temps, mais cela ne serait pas productif (au minimum, il faudrait une analyse de sensitivité)
• On prend un d'entre eux pour commencer (et seulement, dans cet exemple) : l'âge

Modélisation

• Il est possible que l'une des causes de la disparité soit plus d'infections asymptomatiques chez les jeunes, on utilise donc un modèle SLIAR
• On ajoute une stratification par âge
• On ne travaille pas sur une longue période de temps, donc on suppose que les individus ne changent pas de classe d'âge
• On suppose qu'il y a classes d'âge

Le modèle pour chaque classe d'âge sans mélange

Propriétés du modèle sans mélange

Nombre de reproduction élémentaire

où

Relation de taille finale

Découpage en clases d'âge

Pour

(j'utilise comme c'était fait sur le graphique, par comme - je pense - j'avais écrit au tableau)

La force d'infection

• J'ai utilisé une force d'infection, ici, parce que le même s'applique à tous les
• On raisonne sur un

• Pour faciliter l'analyse, on écrit plutôt

Note : inclusion de la mortalité

• Je n'ai pas mis de compartiment pour les morts, même si je devrais, puisque je veux en particulier évaluer la mortalité
• C'est facile à faire: ils sont au bout de la flèche qui ne va nulle part sur le diagramme de flot, et par conséquent, pour

• On ajoutera ça au modèle pour compter facilement, et ça ne change rien à la dynamique

Le modèle complet

avec

Analyse (résumé)

• Modèle épidémique, et la méthode du Cours 07 s'applique (dans le cas qu'on a choisi pour la fonction d'incidence)

Utilisation de la méthode du Cours 07

• On a compartiments susceptibles, compartiments infectés et compartiments guéris ou retirés
• Matrice

Étude computationnelle

• On récupère les données qui ont été utilisées pour les figures précédentes (ici)
• On récupère aussi des données qui établissent la probabilité de cas en fonction de l'âge ici